三角函数的恒等形变方法
I=∫dx/[√2sin(x1)cos(x 1)].
根据公式sin(x π/4)=sinxcosπ/4 cosxsinπ/4变形为:
I==∫dx/{√2√2[sin(x1)cosπ/4cos(x1)sinπ/4]}
= ̄dx/〔√2√2sin(×1 π/4)〕下面抽取公因数系数
=(1/√2)¨dx/〔1 sin(×1 π/4)〕,下面按sin^2×cosx^2=1的变形是
=(√2/2)∫dx/[sin(1/2)(x1π/4)cos(1/2)(x1 π/4)]^2.
=(√2/2)∫dx/{√2sin[(1/2)(x1π/4) π/4]}^2.
=(√2/4)¨dx/sin^2〔(1/2)(×1)3 π/8〕,下面按式cscx=1/sin^3的变形是,
=(√2/4)¨csc^2((1/2)(×1)3 π-8]dx.下面是微分微元dx的变形
=(√2/2)∫csc^2[(1/2)(x1)3π/8]d[(1/2)(x 1)].
下面是一个积分公式¨csc^2xdx=-cotxC的变形得到
I=-(√2/2)cot[(1/2)(x1)3π/8] C.
※、三角函数换元法
设tan(1/2)(x 1)=t,则x=(2arctant-1),
同时,从三角万能公式中得出:
sin(x1)=2t/(1t^2),cos(x1)=(1-t^2)/(1t^2).
代入所求的不定积分后:
I=∫dx/√2sin(x1)cos(x1).
=∫d[(2arctant-1)]/√22t/(1t^2)(1-t^2)/(1t^2).
=2∫[1/(1t^2)]dt/{[√2(1t^2)2t(1-t^2)]/(1t^2)}.
=2∫dt/[√2(1t^2)2t(1-t^2)].
下面将分母作有关t的二次函数的变形是
I=2∫dt/[(√2-1)(t√21)^2]
=2(√21)∫dt/(t√21)^2.
下面以不定积分公式¨dx/x^2=-1/xC为基础计算出来的
I=-2(√21)[1/(t√21)]C.
代入t=tan(1/2)(x1)可以算出该题不定积分的结果是
I=-2(√21){1/[tan(1/2)(x1)√21)]}C.