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三角函数的恒等形变方法(三角函数的恒等形变)

三角函数的恒等形变方法

I=∫dx/[√2sin(x1)cos(x 1)]. 

根据公式sin(x π/4)=sinxcosπ/4 cosxsinπ/4变形为:

I==∫dx/{√2√2[sin(x1)cosπ/4cos(x1)sinπ/4]} 

= ̄dx/〔√2√2sin(×1 π/4)〕下面抽取公因数系数

=(1/√2)¨dx/〔1 sin(×1 π/4)〕,下面按sin^2×cosx^2=1的变形是

=(√2/2)∫dx/[sin(1/2)(x1π/4)cos(1/2)(x1 π/4)]^2. 

=(√2/2)∫dx/{√2sin[(1/2)(x1π/4) π/4]}^2. 

=(√2/4)¨dx/sin^2〔(1/2)(×1)3 π/8〕,下面按式cscx=1/sin^3的变形是,

=(√2/4)¨csc^2((1/2)(×1)3 π-8]dx.下面是微分微元dx的变形

=(√2/2)∫csc^2[(1/2)(x1)3π/8]d[(1/2)(x 1)]. 

下面是一个积分公式¨csc^2xdx=-cotxC的变形得到

I=-(√2/2)cot[(1/2)(x1)3π/8] C. 

三角函数的恒等形变方法(三角函数的恒等形变)

※、三角函数换元法

设tan(1/2)(x 1)=t,则x=(2arctant-1),

同时,从三角万能公式中得出:

sin(x1)=2t/(1t^2),cos(x1)=(1-t^2)/(1t^2).

代入所求的不定积分后:

I=∫dx/√2sin(x1)cos(x1).

=∫d[(2arctant-1)]/√22t/(1t^2)(1-t^2)/(1t^2).

=2∫[1/(1t^2)]dt/{[√2(1t^2)2t(1-t^2)]/(1t^2)}.

=2∫dt/[√2(1t^2)2t(1-t^2)].

下面将分母作有关t的二次函数的变形是

I=2∫dt/[(√2-1)(t√21)^2]

=2(√21)∫dt/(t√21)^2.

下面以不定积分公式¨dx/x^2=-1/xC为基础计算出来的

I=-2(√21)[1/(t√21)]C.

代入t=tan(1/2)(x1)可以算出该题不定积分的结果是

I=-2(√21){1/[tan(1/2)(x1)√21)]}C.

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